整数在内存中是如何存储的为什么它堪称天才般的设计

2021-01-27 11:45 php开发案例

正文:

  加法和减法是计算机中最基本的运算,计算机时时刻刻都离不开它们,所以它们得由硬件直接支持。为了提高加减法的运算效率,硬件电路需要设计地足够精简。

  对于有符号数,内存要区分符号位和数值位,对于人脑来说,很容易辨别,但是对于计算机而言,就要设计专门的电路,这无疑增加了硬件的复杂性,增加了计算的时间。要是能把符号位和数值位等同起来,让它们一起参与运算,不再加以区分,这样硬件电路就变得简单了起来。

  另外,加法和减法也可以合并为一种运算,就是加法运算,因为减去一个数相当于加上这个数的相反数,例如:5 - 3等价于 5 + (-3),10 - (-9)等价于10+9.

  相反数是指数值相同,符号不同的两个数,例如,10和-10就是一堆相反数,-98和98也是一对相反数。如果能够实现上面的两个目标,那么只要设计一种简单的、不用区分符号位和数值位的加法电路,就能同时实现加法和减法运算,并且非常高效。实际上,这两个目标都已经实现了,真正的计算机硬件电路就是如此简单。

  然而,简化硬件电路是有代价的,这个代价就是有符号数在存储和读取时都要进行转化。那么,这个转换过程究竟是怎样的呢?接下来我们就详细地讲解一下。

  首先,请记住如下几个概念。

  (1)原码

  将一个整数转换成二进制形式,就是其原码。例如short a = 6;a的原码就是0000 0000 0000 0110;更改a的值a = -18,此时a的原码就是1000 0000 0001 0010。

  通俗的理解,原码就是一个整数本来的二进制形式

  (2)反码

  谈到反码,需要将正数和负数区别对待,因为它们的反码不一样。

  对于正数,它的反码就是其原码(原码和反码相同);负数的反码就是将原码中除符号位以外的所有位(数值位)取反,也就是0变成1,1变成0.。例如short a = 6,a的原码和反码都是0000 0000 0000 0110;更改a的值a = -18,此时a的反码是 1111 1111 1110 1101.

  (3)补码

  正数和负数的补码也不一样,也要区别对待。

  对于正数,它的补码就是其原码(原码、反码、补码都相同);负数的补码是其反码加 1。例如short a = 6;,a 的原码、反码、补码都是0000 0000 0000 0110;更改 a 的值a = -18;,此时 a 的补码是1111 1111 1110 1110

  可以认为,补码是在反码的基础上打了一个补丁,进行了一下修正,所以叫“补码”。

  原码、反码、补码的概念只对负数有实际意义,对于正数,它们都一样。

  最后我们总结一下 6 和 -18 从原码到补码的转换过程:

 

  图片

  在计算机内存中,整数一律采用补码的形式来存储。这意味着,当读取整数时还要采用逆向的转换,也就是将补码转换为原码。将补码转换为原码也很简单:先减去 1,再将数值位取反即可。

  补码到底是如何简化电路的

  假设 6 和 18 都是 short 类型的,现在我们要计算 6 - 18 的结果,根据运算规则,它等价于 6 + (-18)。

  如果采用原码计算,那么运算过程为:

    6 - 18 = 6 + (-18)
  = [0000 0000 0000 0110] + [1000 0000 0001 0010]
  = [1000 0000 0001 1000]
  = -24

  直接用原码表示整数,让符号位也参与运算,对于类似上面的减法来说,结果显然是不正确的。

  于是人们开始继续探索,不断试错,后来设计出了反码。下面就演示了反码运算的过程:

    6 - 18 = 6 + (-18)
  = [0000 0000 0000 0110] + [1111 1111 1110 1101]
  = [1111 1111 1111 0011]
  = [1000 0000 0000 1100]
  = -12

  这样一来,计算结果就正确了。

  然而,这样还不算万事大吉,我们不妨将减数和被减数交换一下位置,也就是计算 18 - 6 的结果:

    18 - 6 = 18 + (-6)
  = [0000 0000 0001 0010] + [1111 1111 1111 1001]
  = [1 0000 0000 0000 1011]
  = [0000 0000 0000 1011]
  = [0000 0000 0000 1011]
  = 11 

  按照反码计算的结果是 11,而真实的结果应该是 12 才对,它们相差了 1。

  加粗的 1 是加法运算过程中的进位,它溢出了,内存容纳不了了,所以直接截掉。

  6 - 18 的结果正确,18 - 6 的结果就不正确,相差 1。按照反码来计算,是不是小数减去大数正确,大数减去小数就不对了,始终相差 1 呢?我们不妨再看两个例子,分别是 5 - 13 和 13 - 5。

  5 - 13 的运算过程为:

    5 - 13 = 5 + (-13)
  = [0000 0000 0000 0101] + [1000 0000 0000 1101]
  =  [0000 0000 0000 0101] + [1111 1111 1111 0010]
  = [1111 1111 1111 0111]
  = [1000 0000 0000 1000]
  = -8

  13 - 5 的运算过程为:

    13 - 5 = 13 + (-5)
  = [0000 0000 0000 1101] + [1000 0000 0000 0101]
  = [0000 0000 0000 1101] + [1111 1111 1111 1010]
  = [1 0000 0000 0000 0111] 
  = [0000 0000 0000 0111]
  = [0000 0000 0000 0111]
  = 7

  这足以证明,刚才的猜想是正确的:小数减去大数不会有问题,而大数减去小数的就不对了,结果始终相差 1。

  相差的这个 1 要进行纠正,但是又不能影响小数减去大数,怎么办呢?于是人们又绞尽脑汁设计出了补码,给反码打了一个“补丁”,终于把相差的 1 给纠正过来了。

  下面演示了按照补码计算的过程:

    6 - 18 = 6 + (-18)
  = [0000 0000 0000 0110] + [1111 1111 1110 1110]
  = [1111 1111 1111 0100]
  = [1111 1111 1111 0011]
  = [1000 0000 0000 1100]
  = -12

    18 - 6 = 18 + (-6)
  = [0000 0000 0001 0010] + [1111 1111 1111 1010]
  = [1 0000 0000 0000 1100]
  = [0000 0000 0000 1100]
  = [0000 0000 0000 1100]
  = [0000 0000 0000 1100]
  = 12

    5 - 13 = 5 + (-13)
  =  [0000 0000 0000 0101] + [1111 1111 1111 0011]
  = [1111 1111 1111 1000]
  = [1000 1111 1111 0111]
  = [1000 0000 0000 1000]
  = -8

    13 - 5 = 13 + (-5)
  = [0000 0000 0000 1101] + [1111 1111 1111 1011]
  = [1 0000 0000 0000 1000] 
  = [0000 0000 0000 1000]
  = [0000 0000 0000 1000]
  = [0000 0000 0000 1000]
  = 8

  你看,采用补码的形式正好把相差的 1 纠正过来,也没有影响到小数减去大数,这个“补丁”真是巧妙。

  小数减去大数,结果为负数,之前(负数从反码转换为补码要加 1)加上的 1,后来(负数从补码转换为反码要减 1)还要减去,正好抵消掉,所以不会受影响。

  而大数减去小数,结果为正数,之前(负数从反码转换为补码要加 1)加上的 1,后来(正数的补码和反码相同,从补码转换为反码不用减 1)就没有再减去,不能抵消掉,这就相当于给计算结果多加了一个 1。

  补码这种天才般的设计,一举达成了本文开头提到的两个目标,简化了硬件电路。


本文章转载自公众号:php_bug

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