数学家庞加莱与面包的故事

2020-11-10 06:38 大数据实验室

虽然对于大部分人来说,“数学题”是个让人反感的词,但是本题的背景还是挺有意思的。

亨利·庞加莱(Jules Henri Poincaré)是法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家,曾经提出著名的“庞加莱猜想”:在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球。(当然,它与本文无关。)

按照题设,庞加莱是个很喜欢吃面包的人(庞加莱:???),他经常光顾同一家面包店。

这家面包店有一个“诚信”的面包师,为了迎合顾客,声称:

店里面的面包平均重量是  ,上下浮动  。

而在数学家庞加莱的眼中,这句话的意思是:

面包的重量(记为  ,单位  )服从期望为  ,标准差为  的正态分布,即  。


什么是正态分布呢?

例如,将全世界所有人的身高都统计一遍,并画在坐标系中,就会得到这样一条曲线:

正态分布曲线

自然界中的许多东西,都可以近似满足这个规律,例如人的颜值、智商等等。

如果面包师没有说谎的话,上面提到的面包重量,也可以视作满足这个规律。

但是呢,追求严谨的数学家是不会轻易相信面包师说的话的。

于是庞加莱心血来潮,想要统计一下每天买来的面包的质量,并由此判断面包师有没有说谎。

接下来,我们用数据说话:

25天来,庞加莱坚持买面包并称重,获得了以上数据。

其实细心点就可以看出:以9开头的数字远多于以1开头的数字!

庞加莱心想:这下发现问题了。于是他兴冲冲地开始了计算。

经过计算,这几个面包的平均质量是  ,标准差是  。

庞加莱认定面包师在制作过程中偷工减料,并果断举报给质检部门,但质检员却感到疑惑:这几个面包确实满足上面所说的条件,平均重量  ,上下浮动  。为什么会被认为是偷工减料呢?

没错,这就是庞加莱喜欢吃的面包!

庞加莱给出了解释,也就是著名的正态分布的  原理。

如果随机变量  ,那么可以计算得到:

 ;

 ;

 。

什么意思呢?也就是说,变量  的值与平均值  相差  的概率就已经很小了,而相差超过  的概率甚至不足  。

在本题中,所获得的面包的平均值也可以视作服从正态分布。

而平均值的方差变为  。

因此,由上面的计算可知,平均值低于  的概率只有  ,进一步看,低于  的概率只有  ,可以说是“小概率事件”。

有这样的“小概率事件”发生,那么就有两种可能的原因:庞加莱运气特别好,或是面包店老师偷工减料。而庞加莱选择了后者。

因此,质检员被说服了,面包师接受惩罚,并承诺一定会整改。

社会主义核心价值观

按照故事正常的走向,面包师以此为鉴,诚信经营,从此走上了弘扬“爱国,敬业,诚信,友善”的社会主义核心价值观的道路,为建设社会主义现代化强国出自己的一份力。

如果故事到这里就结束了,那么未免不够精彩。

接下来一段时间,庞加莱依然每天去这家面包店买面包,并且一样对每个自己买到的面包称重,做好记录。

又过了25天,这次庞加莱得到了一组全新的数据:

这25个面包的质量,平均值为  ,标准差为  。

咋一看,这次面包平均质量居然上升了,说明举报还是有引起面包师的重视的。

本来以为这次的面包已经足够让人满意了,但没想到庞加莱再次把面包师举报了。

这次是为什么呢?

(注:此即为原题的最后一小题)

仔细一看,这次的标准差小得异常,居然只有  ,远小于之前的  。

而面包质量的标准差,一定程度上也代表了面包师的手艺。

难道面包师的手艺在短时间内取得了巨大的突破?不可能。

因此庞加莱得出结论:一定是选取面包的时候不够“随机”,有人为干涉的成分。

也就是说,当面包师在人群中看到庞加莱时,会特地选取较大的面包给庞加莱。

于是庞加莱认为面包师在制作面包时仍然有问题,再次举报了面包师,揭穿了面包师自以为“天衣无缝”的谎言。

好好学数学吧!

这个故事告诉我们:千万不要试图欺负数学家,数学家可是很厉害的!

附:原题参考答案及评分标准



来源:数学职业家

版权声明:部分文章推送时未能与原作者取得联系。若涉及版权问题,敬请原作者联系微信18516600808删除。

本文章转载自公众号:bigdatalab

首页 - 大数据 相关的更多文章: